Question

已知函数（为实常数）.

（1）当时，求函数在上的最大值及相应的值；

（2）若，且对任意的，都有，求实数的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】试题分析：（1）把代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点把给出的定义分段，判出在各段内的单调性，从而求出函数在上的最大值及相应的值；（2）判出函数在时是增函数，在规定后把转化为，构造辅助函数，由该辅助函数是减函数得其导函数小于等于0恒成立，分离利用函数单调性求的范围.

试题解析：（1），当时，.当时，，，故，当时，取等号.

（2）当时，在时是增函数，又函数是减函数，不防设，则等价于.

即，故原题等价于函数在时是减函数，

恒成立，即在时恒成立.

在时是减函数 .

点睛：本题考查了利用导数求闭区间上的最值，考查了数学转化思想方法，训练了构造函数求变量的取值范围，此题是有一定难度题目；根据连续函数在闭区间内的最值要么在端点处，要么在极值点处取得，是解决最值最常见的理论知识，对于第二问主要是根据题目特征构造出函数即可，结合分离参数思想，利用函数单调性求即可.