Question

已知， 分别是椭圆： 的左、右焦点， ， 分别是椭圆的左、右顶点， ，且（其中为坐标原点）的中点坐标为．　

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于， 两点，已知点，求证： 是定值.

Answer

（1）（2）夹江县

【解析】试题分析：

(1)利用中点坐标公式求得 的值，利用向量关系求得 ，最后利用求得 的值即可得出椭圆方程为.

(2) 设， ，联立直线与圆的方程，得到， ，整理计算求得，即可证得是定值.

试题解析：

（Ⅰ）∵的中点坐标为，∴，则，

∵，

∴，解得，

∴，

∴椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）证明：设， ，

将代入，得，

则， ， ，

∴

，

∴为定值.