Question

如图甲，直角梯形中， ， ，点分别在上，且， ， ，现将梯形沿折起，使平面与平面垂直（如图乙）.

(Ⅰ)求证： 平面；

（II）当的长为何值时，二面角的大小为？

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：

(1)建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量和平面的一个法向量即可证得线面平行；

(2)结合空间直角坐标系探究可得时，二面角的大小为.

试题解析：

（Ⅰ）如图建立空间直角坐标系N-xyz.

设，则A(2,0,t)，B(2，4，0)，

又易知平面DNC的一个法向量为，

由，得AB∥平面DNC.

（Ⅱ）设，则D(0,0,t)，C(0,2,0)，B(2,4,0)，故 (0,-2,t)， (2,2,0)，

设平面DBC的一个法向量为，则

取，则，即，

又易知平面BCN的一个法向量为，

，即，解得.

另【解析】
（Ⅰ）∵MB∥NC，MB平面DNC，NC平面DNC，

∴MB∥平面DNC. 同理MA∥平面DNC，

又MA∩MB＝M且MA、MB平面MAB，

∴平面MAB∥平面NCD， 又AB平面MAB，

∴AB∥平面NCD.

（Ⅱ）过N作NH⊥BC交BC延长线于H，连结DH，

∵平面AMND⊥平面MNCB，DN⊥MN

∴DN⊥平面MNCB，从而DH⊥BC，

∴∠DHN为二面角D－BC－N的平面角.

由已知得， ，∴， ，

∴.