Question

已知抛物线C的一个焦点为，对应于这个焦点的准线方程为

（1）写出抛物线C的方程；

（2）过F点的直线与曲线C交于A、B两点，O点为坐标原点，求△AOB重心G的轨迹方程；

（3）点P是抛物线C上的动点，过点P作圆的切线，切点分别是M，N.当P点在何处时，|MN|的值最小？求出|MN|的最小值.

Answer

（1）抛物线方程为： ；（2） ；（3）P（2，±2），|MN|取最小值.

【解析】试题分析：

(1)由直线方程可得抛物线方程为；

(2)利用重心坐标公式消去参数可得轨迹方程为： ；

(3)利用圆的性质结合题意可得满足题意时点P的坐标为P（2，±2），且|MN|取最小值.

试题解析：

（1）抛物线方程为： .

（2）①当直线不垂直于x轴时，设方程为，代入，

得：

设，则， 设△AOB的重心为则，

消去k得为所求，

②当直线垂直于x轴时，

△AOB的重心也满足上述方程.

综合①②得，所求的轨迹方程为

（3）设已知圆的圆心为Q（3，0），半径，

根据圆的性质有： 当|PQ|2最小时，|MN|取最小值，

设P点坐标为，则

∴当， 时， 取最小值5，

故当P点坐标为（2，±2）时，|MN|取最小值.