Question

选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线与曲线交于两点.

（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程及直线恒过的定点的坐标；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若，求直线的普通方程.

Answer

（Ⅰ）：,; （Ⅱ）.

【解析】试题分析：（1）利用三种方程的转化方法，求出普通方程，即可求曲线C的普通方程及直线l恒过的定点A的坐标；

（2）在（1）的条件下，若，利用参数的几何意义，求出，即可求直线L的普通方程．

试题解析：

（Ⅰ）因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以C： ，直线l恒过定点为.

（Ⅱ）把直线l的方程代入曲线C的直角坐标方程中得： .

由t的几何意义知， ，因为点A在椭圆内，这个方程必有两个实根，

所以，因为，即，

所以，因为，所以，

因此，直线l的方程为.

点睛：本题考查了参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与普通方程的互化；在处理直线与圆锥曲线的位置关系问题时，要充分利用参数的几何意义灵活解题，本题就利用了t的几何意义， 表示定点A（2,0）到直线与曲线交点的距离，从而借助韦达定理，目标就可以转化为所求量的方程问题.