Question

已知函数,曲线在点处的切线为，若时，有极值.

（1）求的值；

（2）求在上的最大值和最小值.

Answer

解: （1）由f（x)=x3+ax2+bx+c,

得f′(x)=3x2+2ax+b,

当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b="0 " ①

当x=时，y=f(x)有极值，则f′（）=0,

可得4a+3b+4="0 " ②

由①②解得a=2,b=-4.

由于切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4.

∴1+a+b+c=4.∴c=5………………………………….6分

（2）由（1）可得f(x)=x3+2x2-4x+5,

∴f′(x)=3x2+4x-4,

令f′(x)=0,得x=-2,x=.

当x变化时，y,y′的取值及变化如下表：

x

-3

(-3,-2)

-2

(-2,)

(,1)

1

+

0

-

0

+

y

8

单调增递

13

单调递减

单调递增

4

∴ y=f(x)在[-3，1]上的最大值为13，最小值为…………………….14分

【解析】试题分析：

(1)利用题意求得实数a,b,c的值可得函数f(x)的表达式为f(x)＝x3＋2x2－4x＋5

(2)结合(1)的解析式和导函数研究原函数的性质可得y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为 .

试题解析：

(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，

得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，

当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0；①

当x＝时，y＝f(x)有极值，则f′＝0，

可得4a＋3b＋4＝0.②

由①②解得a＝2，b＝－4，

又切点的横坐标为x＝1，∴f(1)＝4.

∴1＋a＋b＋c＝4.∴c＝5.

(2)由(1)，得f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，

∴f′(x)＝3x2＋4x－4.

令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝，

∴f′(x)<0的解集为，即为f(x)的减区间．

[－3，－2)、是函数的增区间．

又f(－3)＝8，f(－2)＝13，f＝，f(1)＝4，

∴y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.