Question

已知椭圆C： (a＞b＞0)的离心率为，点P(0,1)和点A(m，n)(m≠0)都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.

(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标(用m，n表示)；

(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）M.；（2）点Q的坐标为(0， )或(0，－ ).

【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何性质得出，求解即可．
（2）讲问题转化为方程＝|xM||xN|，求坐标即可.

试题解析：

(1)由题意得解得a2＝2，故椭圆C的方程为＋y2＝1.

设M(xM,0)．因为m≠0，所以－1＜n＜1.直线PA的方程为y－1＝x.

所以xM＝，即M.

(2)因为点B与点A关于x轴对称，所以B(m，－n)．

设N(xN,0)，则xN＝.“存在点Q(0，yQ)使得∠OQM＝∠ONQ”，等价于“存在点Q(0，yQ)使得”，即yQ满足＝|xM||xN|.

因为xM＝，xN＝， ＋n2＝1.

所以＝|xM||xN|＝＝2.所以yQ＝或yQ＝－.

故在y轴上存在点Q，使得∠OQM＝∠ONQ，点Q的坐标为(0， )或(0，－ )．