Question

如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，且平面平面 ，为棱的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值。

Answer

(1)见解析； （2）.

【解析】试题分析：

(1)由直线与平面垂直的判断定理即可证得线面垂直；

(2)建立空间直角坐标系，由半平面的法向量可得二面角的余弦值为

试题解析：

(1)证明：∵是正三角形，是中点，∴

∵平面平面，∴平面

（2）解法1： 平面平面, ,平面，过A作于G，连接GB，则为二面角的平面角，在中， .

解法2：（2）以为原点，以为轴， 为轴，建立如图所示坐标系，

∴，，

设平面的法向量为，

则，∴，

又∵平面，∴平面的一个法向量为，

∴