Question

设数列的前项和为， 且成等差数列。

（1证明为等比数列，并求数列的通项；

（2）设，且，证明。

（3）在（2）小问的条件下，若对任意的，不等式恒成立，试求实数λ的取值范围.

Answer

（1）；（2）见解析；（3）.

【解析】试题分析：当时，由 ，作差可得两边同时除以即可构造新数列求解了；

（2）由（1）有，即可采用裂项相消的方法求和得即可证明

；

（3）恒成立时，即（）恒成立，令，讨论求解即可.

试题解析：

（1）在中

令，得即，①

令，得即，②

又，③

则由①②③解得，

当时，由 ，得到

则

又，则

是以为首项， 为公比的等比数列，

，即

（2），则

则

.

（3）当恒成立时，即（）恒成立.

设（），

当时， 恒成立，则满足条件；

当时，由二次函数性质知不恒成立；

当时，由于对称轴 ，则在上单调递减，

恒成立，则满足条件，

综上所述，实数λ的取值范围是.