Question

记S_n=1+2+3+…+n，T_n=1²+2²+3²+…+n²．

（Ⅰ）试计算的值，并猜想 的通项公式．

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的猜想试计算T_n的通项公式，并用数学归纳法证明之．

Answer

（Ⅰ） （Ⅱ）见解析

【解析】试题分析：

(1)利用题意求解数列的前3项可得通项公式 =；

(2)利用题意猜想通项公式为 ，然后利用数学归纳法证明结论即可.

试题解析：

【解析】
（Ⅰ）

猜想：，

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的猜想：

又，

故（n∈N*），

证明：①当（Ⅱ）时，左边T1=1，右边=左边=右边，猜想成立．

②假设n=k时，猜想成立．即成立．

则当n=k+1时， =，

==，

==，

∴当n=k+1时，猜想也成立．

由①②知对于任意的n∈N*，均成立．