Question

如图，在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，△ABC是等边三角形，BC＝CC₁＝4，D是A₁C₁中点．

(1)求证：A₁B∥平面B₁CD；

(2)当三棱锥C－B₁C₁D体积最大时，求点B到平面B₁CD的距离．

Answer

(1)详见解析;(2) .

【解析】试题分析：（1）连接交于，连接，利用平行四边形性质、三角形中位线定理可得： ，再利用线面平行的判定定理即可证明.（2）设点到平面的距离为，可得，而故点三棱锥体积最大时， ，即平面，由（1）知，

可得到平面的距离与到平面的距离相等，设到平面的距离为，由，利用体积变换，即可求出.

试题解析：

(1)证明：连接BC1交B1C于O，连接DO.在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形BB1C1C为平行四边形，则BO＝OC1，又D是A1C1中点，∴DO∥A1B，而DO⊂平面B1CD，A1B⊄平面B1CD，∴A1B∥平面B1CD.

(2)设点C到平面A1B1C1的距离是h，则VC－B1C1D＝S△B1C1Dh＝h，而h≤CC1＝4，故当三棱锥C－B1C1D体积最大时，h＝CC1＝4，即CC1⊥平面A1B1C1.(6分)

由(1)知BO＝OC1，所以B到平面B1CD的距离与C1到平面B1CD的距离相等．

∵CC1⊥平面A1B1C1，B1D⊂平面A1B1C1，

∴CC1⊥B1D.

∵△ABC是等边三角形，D是A1C1中点，

∴A1C1⊥B1D，又CC1∩A1C1＝C1，CC1⊂平面AA1C1C，A1C1⊂平面AA1C1C，

∴B1D⊥平面AA1C1C，∴B1D⊥CD，由计算得：B1D＝2，CD＝2，所以S△B1CD＝2.

设C1到平面B1CD的距离为h′，由VC－B1C1D＝VC1－B1CD，得×4＝S△B1CDh′⇒h′＝，所以B到平面B1CD的距离是.