Question

如图，在长方体中， 分别为的中点.

   （1）证明：平面平面；

   （2）证明： 平面；

（3）若正方体棱长为1，求四面体的体积.

Answer

(1)详见解析;(2) 详见解析;(3) .

【解析】试题分析：（1）要证平面平面，即证A1B⊥平面ADC1B1;(2)要证平面，即证线线平行;(3)利用等积变换求四面体的体积.

试题解析：

（1）如图，因为ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以B1C1⊥平面ABB1A1.

因为A1B平面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B.

因为A1B⊥AB1，B1C1∩AB1=B1，所以A1B⊥平面ADC1B1.

因为A1B平面A1BE，所以平面ADC1B1⊥平面A1BE

（2）如图，设AB1∩A1B=O，连接EF，OE.

由已知条件得EF∥C1D，且EF= C1D.B1O∥C1D且B1O= C1D，

所以EF∥B1O且EF=B1O，所以四边形B1OEF为平行四边形，

所以B1F∥OE，

因为B1F⊄平面A1BE，OE平面A1BE，所以B1F∥平面A1BE

(3) .

点睛：求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．