Question

已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为，且长轴与短轴长的比是

   （1）求椭圆C的方程；

   （2）设点在 椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点，当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点上，求实数的取值范围.

Answer

（1）;(2) 1≤m≤4.

【解析】试题分析：（1）利用待定系数法求椭圆方程;(2)利用点点距公式表示，借助点在曲线上，转化为二次函数的最值问题.

试题解析：

（1）由题意知解得

所以椭圆方程为

（2）设P(x0,y0),且,

所以|PM|2=(x0-m)2+=-2mx0+m2+12

=-2mx0+m2+12= (x0-4m)2-3m2+12(-4≤x0≤4)

所以|PM|2为关于x0的二次函数,开口向上,对称轴为x0=4m.

由题意知,当x0=4时,|PM|2最小,所以4m≥4,所以m≥1.

又点M(m,0)在椭圆长轴上,所以1≤m≤4