Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S₁＝－，a_n－4S_nS_n－1＝0(n≥2)．

(1) 若b_n＝，求证：{b_n}是等差数列；

(2) 求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）根据an=Sn-Sn-1，结合n≥2时，an-4SnSn-1=0，可得Sn-Sn-1=4SnSn-1，两边同除SnSn-1可得结论；
（2）根据（1）可得Sn＝－，结合b1＝＝－4，n≥2时，an-4SnSn-1=0，可得数列{an}的通项公式．

试题解析：

(1) 证明：当n≥2时，由an－4SnSn－1＝0，an＝4SnSn－1，得Sn－Sn－1＝4SnSn－1，

所以－＝－4，即bn－bn－1＝－4.

又b1＝＝－4，故{bn}是首项为－4，公差为－4的等差数列．

(2) 【解析】
由(1)可得bn＝－4－4(n－1)＝－4n，即＝－4n，所以Sn＝－.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＋＝＝.

当n＝1时，a1＝－不适合上式．

故.

点睛：这类型题使用的公式是，一般条件是,若是消，就需要当时构造，两边相减，再变形求解，若是消，就需要将变形为： ，再利用递推求解通项公式.