Question

已知函数 ，且的图象在处的切线与曲相切，符合情况的切线

A. 有条    B. 有条    C. 有条    D. 有条

Answer

A

【解析】函数f(x)= 的导数为f′(x)=1−，a>0.

易知,曲线y=f(x)在x=0处的切线l的斜率为1−1a,切点为(0,−1)，

可得切线的方程为y=(1−)x−1.

假设l与曲线y=ex相切,设切点为(x0,y0)，

即有e x0=1−=(1−)x0−1，

消去a得e x0=e x0⋅x0−1,设h(x)=exx−ex−1，

则h′(x)=exx,令h′(x)>0，则x>0，

所以h(x)在(−∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增，

当x→−∞,h(x)→−1,x→+∞,h(x)→+∞，

所以h(x)在(0,+∞)有唯一解,则e x0>1，

而a>0时,1−1a<1,与e x0>1矛盾，所以不存在。

故选：A.

点睛：与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略

①已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为．

②已知斜率求切点．已知斜率，求切点，即解方程.

③求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．