Question

如图，在正方体中，棱长为1 ，点为线段上的动点(包含线段端点)，则下列结论正确的______．

   ①当时， 平面；

   ②当时， 平面；

   ③的最大值为；

   ④的最小值为.

Answer

①②④

【解析】

对于①,连结AB1,B1D1,AD1,则V A−A1B1D1=××1=，

S △AB1D1=×××sin60∘=,A1C=，

设A1到平面AB1D1的距离为h,则××h=,解得h=，

∴h=A1C.

∴当时,P为A1C与平面AB1D1的交点。

∵平面AB1D1∥平面BDC1，

∵D1P⊂平面AB1D1,∴D1P∥平面BDC1，故①正确；

对于②,由①可知P∈平面AB1D1，

∵A1C⊥平面AB1D1,∴A1C⊥平面D1AP，故②正确；

对于③,由①可知当时,P为等边△AB1D1的中心，

∴∠APD1=120∘，故③错误；

对于④,连结AC,D1C,则Rt△A1AC≌Rt△A1D1C,∴AP=D1P，

∴AP的最小值为 =，

∴AP+PD1的最小值为.故④正确。

故答案为：①②④。