Question

已知函数

(Ⅰ)若有唯一解,求实数的值；

（Ⅱ）证明：当时，

（附： ）

Answer

(Ⅰ) ；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】试题分析：(Ⅰ）使有唯一解,只需满足,且的解唯一，求导研究函数，注意分类讨论利用极值求函数最大值；（Ⅱ）只需证即证，构造函数，利用单调性，极值求其最小值，证明其大于零即可．

试题解析：(Ⅰ)函数的定义域为

要使有唯一解,只需满足,且的解唯一,

,

①当时, ,故在上单调递增,且,

所以的解集为,不符合题意；

②当，且时， 单调递增；当时， 单调递减，所以有唯一的一个最大值为,

令，则,

当时， ,故单调递减；当时，故单调递增，

所以，故令,解得，

此时有唯一的一个最大值为，且，故的解集是，符合题意；

综上，可得

（Ⅱ）要证当时，

即证当时， ,

即证

由（Ⅰ）得，当时， ,即，又，从而,

故只需证，当时成立；

令，则,

令，则，令，得

因为单调递增，所以当时， 单调递减，即单调递减，当时， 单调递增，即单调递增，

且,

由零点存在定理，可知，使得，

故当或时， 单调递增；当时， 单调递减，所以的最小值是或

由，得，

,

因为，所以,

故当时，所以,原不等式成立．

点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题．处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会．