Question

已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）试证明： （…，）.

Answer

（1）函数的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）见解性.

【解析】试题分析：（1）函数定义域为，利用导数求出函数的单调区间.（2）对原不等式两边去以为底的对数，化为，令，故只需证，由（1）的单调区间可知函数最小值为，即，由此得证.

试题解析：

（1）， ，

则，

解，得，

解，得.

∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2），

令，则，

∴要证只需证，

由（1）知，

∴，即，

∵，

∴，从而.

点睛：本题主要考查利用导数求函数的单调区间，利用单调区间和最值证明不等式，考查了分析法证明不等式和划归与转化的思想方法.第一问求函数的单调区间，它的基本步骤是先求函数的定义域，然后对函数求导、通分、令导数为零求出导函数的零点，由此可写出函数的单调区间.第二问将原不等式转化为第一问的结论来证明.