Question

已知，其中，若函数，且它的最小正周期为．（普通中学只做1，2问）

（1）求的值，并求出函数的单调递增区间；

（2）当（其中）时，记函数的最大值与最小值分别为与，设，求函数的解析式；

（3）在第（2）问的前提下，已知函数， ，若对于任意， ，总存在，使得成立，求实数t的取值范围.

Answer

（1）． ;

（2）;（3）．

【解析】试题分析：（1）利用三角公式，简化函数，然后求单调区间；（2）分类讨论求函数的最值，进而得到函数的解析式；（3）由题意可知，研究函数的最值即可.

试题解析：

（1）∵，∴．∴

单调递增区间为： ，

即．

（2）若， ， ，

此时；

若， ，

，此时；

若， ， ，

此时；

若， ，

，此时．

综上所述， ．

（3）由题意可知．

对于，若， ；若，

；

若， ；若，

．

综上所述， ， ．

对于，由于，且等号当时能取到，∴．

对于，不难得出，

于是．

∴，解得： ．

点睛：本题以平面向量为载体，重点考查了三角函数的最值，属于难题.第2问区间是动态的，此时要抓住区间端点与三角函数极值点的关系，合理有序的分类至关重要；不等式恒成立问题（有解问题）往往转化为函数的最值问题，本题运算量较大，细致认真是良好的解题习惯.