Question

已知⊙C的圆心在直线上，且与直线相切与点．

（1）求⊙C的标准方程；

（2）求过点且被⊙C截得弦长为的直线的方程；

（3）已知，是否存在这样的r的值使得⊙O能平分⊙C的周长？若存在，求出r的值；若不存在，请说明你的理由．

Answer

（1）；（2）或；（3）．

【解析】试题分析：（1）由题意得标准方程；（2）根据勾股定理得到直线斜率k的值；（3）平分⊙C的周长即公共弦必过⊙C的圆心，得到公共弦所在直线方程带入得.

试题解析：

（1）∵⊙C与直线相切与点，故圆心在直线上．

又圆心在直线上，故圆心坐标为，从而半径为2．

故⊙C的标准方程为；

（2）∵直线截得圆所得弦长为，圆的半径为2，由弦长公式可知圆心

到该直线的距离．

若过P的直线不存在斜率，即，经检验圆心到其距离为1，符合题意，

若过P的直线存在斜率设为k，则直线方程为，

则，解得，此时直线方程为，

综上所述，符合题意的直线方程为或；

（3）若⊙O能平分⊙C的周长，则它们的公共弦必过⊙C的圆心．

将两圆方程对应相减，可得公共弦所在的直线方程为： ．

将代入，解得， ．

经检验，此时两圆位置关系属于相交，符合题意．