Question

在平面直角坐标系中，已知两定点、，⊙C的方程为．当⊙C的半径取最小值时：

（1）求出此时m的值，并写出⊙C的标准方程；

（2）在x轴上是否存在异于点E的另外一个点F，使得对于⊙C上任意一点P，总有为定值？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明你的理由；

（3）在第（2）问的条件下，求的取值范围．

Answer

（1）；（2）；（3）．

【解析】试题分析：（1）把一般方程化为标注形式，由二次函数最值得；（2）由于λ取值与x无关，则对应项系数成比例;(3) 在第（2）问的条件下， ，利用对勾函数求最值.

试题解析：

（1）⊙C的标准式为： ，

当时，⊙C的半径取最小值，此时⊙C的标准方程为；

（2）设，定点（m为常数），则．

∵，∴，代入上式，

得： ．

由于λ取值与x无关，∴（舍去）．

此时点F的坐标为， 即；

（3）

由上问可知对于⊙C上任意一点P总有，

故，

而（当P、F、G三点共线时取等号），

又，故．

∴

，

令，则，

根据对勾函数的单调性可得： ．