Question

已知椭圆（）的左、右焦点分别为， ，点在椭圆上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）不存在，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）由焦点坐标可得，再根据及点在椭圆上，可得，进而可得椭圆的方程；（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立可得，与判别式为正可得，再根据平行四边形性质及韦达定理可得点的纵坐标范围是，可判定点不在椭圆上，所以这样的直线不存在．

试题解析：（1）设椭圆的焦距为，则，

因此椭圆方程为

在椭圆上， 解得

故椭圆的方程为．

（2）假设存在这样的直线 设直线的方程为，

设， ， ， ， 的中点为，

由得，

所以，且，则，

由知四边形为平行四边形，

而为线段的中点，因此， 也是线段的中点，

所以，可得，

又，所以，

因此点不在椭圆上．

所以这样的直线l不存在

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程、韦达定理以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.