Question

已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是

A.     B.     C.     D.

Answer

A

【解析】当时， ，解得，函数有两个零点，不符合题意，应舍去；当时，令， 或，列表如下：

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

，而，所以存在，使得， 存在唯一的零点，且不符合条件，应舍去，当时， ，解得或，列表如下：

单调递减

极小值

单调递增

极大值

单调递减

而时， ，所以存在，使得， 存在唯一的零点，且，所以极小值，化为，综上可知， 的取值范围是.

【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、分类讨论思想及函数的零点.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.