Question

设， ，令．

  （1）求 的值；

  （2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer

（1）见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）根据所给函数及递推关系式，进行求出 的值，根据其共性可猜想数列的通项公式；（2）利用数学归纳法的证明步骤，进行证明，一定注意步骤的规范性以及利用归纳假设的必要性.

试题解析：（1）∵，∴，

，

.

（2） 猜想：．

下面用数学归纳法证明：

当时，，猜想成立；

假设当 时猜想成立，即：， ………9分

当，

.

∴当 时猜想也成立．

由①，②可知，对任意都有 成立．

【方法点睛】本题通过考查数列的递推公式、归纳推理，数学归纳法的应用，属于中档题.归纳推理的一般步骤:①通过观察个别情况发现某些相同的性质.②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）,由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的，但它由特殊到一般，由具体到抽象的认识功能，对科学的发现十分有用,观察、实验、对有限的资料作归纳整理，提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一.