Question

（1）已知椭圆， 是椭圆上不同的两个点，线段 的垂直平分线与轴相交于点．证明： ；

（2）对于双曲线写出类似的结论．

Answer

（1）见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）设的坐标分别为和，因为线段的垂直平分线与轴相交，故不平行于轴，即，又交点为，故，把点坐标代入，同时把代入椭圆方程，最后联立方程即可得到，关于和的关系式，最后根据和的范围确定的范围；（2）根据椭圆与双曲线的相似性质，由类比推理可得结果.

试题解析：（1） 设，，由在线段的垂直平分线上，

得．

由两点在椭圆上，得，，

即 ．

∵，∴．

∵， 又，∴，

∴ ．

（2）是双曲线上不同的两个点，线段的垂直平分线与轴相交于点 ，则.（或）.