Question

如图（1），在等腰梯形中， ， 是梯形的高， ， ，现将梯形沿， 折起，使且，得一简单组合体如 图（2）示，已知， 分别为， 的中点．

（1）求证： 平面；

（2）若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面所成的锐二面角大小.

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：

(1)利用题意结合几何关系可得： ，结合线面平行的判断定理可得： 平面.

(2)利用题意建立空间直角坐标系，求得平面与平面的法向量，据此可得平面与平面所成锐二面角的大小为.

试题解析：

（1）连，∵四边形是矩形， 为中点，∴为中点，

在中， 为中点，故，又∵平面， 平面，∴平面.

（2）依题意知， ，且，

∴平面，过点作于点，连接，

∴在面上的射影是，∴为与平面所成的角，

∴，∴， ，

设且，分别以， ， 所在的直线为， , 轴建立空间直角坐标系，

则， ， ， ，

， ， ， ，

设， 分别是平面与平面的法向量

令， ，即， ，

取， ，则，∴平面与平面所成锐二面角的大小为.