Question

已知圆与圆 的公共点的轨迹为曲线，且曲线与轴的正半轴相交于点．若曲线上相异两点满足直线的斜率之积为．

（1）求的方程；

（2）证明直线恒过定点，并求定点的坐标．

Answer

（1）；（2）证明见解析， ．

【解析】试题分析：（1）确定，可得曲线是长轴长，焦距的椭圆，即可求解椭圆的方程；（2）分类讨论，设出直线的方程，代入椭圆的方程，利用韦达定理，结合直线的斜率之积为，即可证直线恒过定点，并求出定点的坐标．

试题解析：（1）设⊙，⊙的公共点为,

由已知得，，

故，因此曲线是长轴长，焦距的椭圆，

所以曲线；

（2）由曲线的方程得，上顶点，记，

若直线的斜率不存在，则直线的方程为，故，且，

因此，与已知不符，

因此直线AB的斜率存在，

设直线，代入椭圆： ①

因为直线与曲线有公共点，所以方程①有两个非零不等实根，

故，

又， ，

由，得

即

所以

化简得： ，故或，结合知，

即直线恒过定点．

考点：椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系的应用．

【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系的应用、判定直线过定点问题等知识点的综合考查，解答中设出直线的方程，代入椭圆的方程，利用判别式和根与系数的关系及韦达定理，结合直线的斜率之积为是解答本题的关键，注重考查了分析问题和解答问题的能力及转化与化归思想的应用，试题有一定的难度，属于中档试题．