Question

已知函数， .

（Ⅰ）当时，求函数切线斜率中的最大值；

（Ⅱ）若关于的方程有解，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）1;（Ⅱ）或.

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，切线斜率的最大值即的最大值，对函数进行求导，通过配方法可求其最大值；（Ⅱ）令，则问题等价于函数存在零点，根据函数的单调性解出即可；

试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为.

当时， ，

所以函数切线斜率的最大值为1.

（Ⅱ）因为关于的方程有解，

令，则问题等价于函数存在零点，

所以.

当时， 对成立，

函数在上单调递减.

而， ，

所以函数存在零点.

当时，令，得.

， 随的变化情况如下表：

所以为函数的最小值，

当时，即时，函数没有零点，

当时，即时，注意到，

所以函数存在零点.

综上，当或时，关于的方程有解.

点睛：本题主要考查了函数导数的几何意义即函数在某点处的导数即为在该点处切线的斜率，故切线斜率的最大值即导数的最大值，同时考查了函数导数与单调性的关系以及函数零点的存在性问题，有一定难度；函数的零点即函数的图象与轴的交点，在利用导数判断函数单调性得到函数图象大致形状是，需注意端点处的函数值与的关系以及极值与的关系.