Question

若函数，当时，函数有极值.

（1）求函数的解析式；

（2）若方程有3个不同的根，求实数的取值范围．

Answer

（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】试题分析：先根据题目条件求出的值，然后再利用导数的几何意义即可求得曲线在点处的切线方程；(2)先求出函数单调区间以及各个极值，再采用数形结合的方法就可求出方程有个不同的根时，实数的取值范围.

试题解析：解 （1）,由题意得，解得

故所求函数的解析式为.， ，

在点处的切线方程为： ，即.

（2）由(1)可得，令，得或.

当变化时， ， 的变化情况如下表：

因此，当时， 有极大值，当时， 有极小值，

所以函数的图象大致如图所示．

若有个不同的根，则直线与函数的图象有个交点，所以.

考点：1、导数在函数研究中的应用；2、极值，单调区间，函数的零点.