Question

(本小题满分14分)

如图的几何体中， 平面， 平面，△为等边三角形， 为的中点．

（1）求证： 平面；

（2）求证：平面平面。

Answer

（1）证明：取的中点，连结．

∵为的中点，∴且．

∵平面， 平面，

∴，∴．

又，∴． …………3分

∴四边形为平行四边形，则．……………5分

∵平面， 平面，∴平面．…………7分

（2）证明：∵为等边三角形， 为的中点，∴…………9分

∵平面， ，∴．……………10分

又，∴平面．……………………………12分

∵，∴平面．…………………………………13分

∵平面，∴平面平面．………………14分

【解析】试题分析：（1）通过取的中点，利用三角形的中位线定理和平行四边形的性质及线面平行的判定定理即可证明；（2）连接，设到平面的距离为，利用等体积法可求得结果.

试题解析：（1）证明：取的中点，连接、．

∵为的中点，∴且．

∵平面， 平面，

∴，∴，

又，∴．

∴四边形为平行四边形，则．

∵平面， 平面，∴平面．

（2）连接，设到平面的距离为，

在中， ， ，

∴，

又， ，

∴由，即（为正的高），

∴

即点到平面的距离为．