Question

已知函数.

（1）当时，讨论的单调区间；

（2）设，当有两个极值点为，且时，求的最小值.

Answer

（Ⅰ）当时， 的递增区间为，无递减区间；当时， 的递增区间为， ，递减区间为

（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）用表示， ，求出的表达式，构造函数， ，求出的最小值即可.

试题解析：（Ⅰ） 的定义域.

，

令，得，

①当时， ，此时恒成立，所以， 在定义域上单调递增； （2分）

②当时， ， 的两根为， ，

且.

当时， ， 单调递增；

当时， ， 单调递减；

当时， ， 单调递增；

综上，当时， 的递增区间为，无递减区间；当时， 的递增区间为， ，递减区间为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 的两个极值点是方程的两个根，则，所以， .

∴ .

设， ，

则.

∵，

当时，恒有，∴在上单调递减；

∴，∴.