Question

已知函数

（1）解不等式 ； 

（2）对任意x∈R都有恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1） （2）

【解析】试题分析：（1）根据函数，故由可得三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求；（2）由题意可得，由（1）可得，从而求得实数的取值范围.

试题解析：（1）y = │2x+1│-│x – 3│=

作出函数y=│2x+1│-│x – 3│的图象，它与直线y=4的交点为（-8，4）和（2，4）.

│2x+1│-│x – 3│4的解集为[-8，2]

（2）对任意x∈R，都有恒成立等价于af(x)min对x∈R恒成立，

由（1）图象可知，当x=-时，f(x)min= - ∴a≤-

点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.