Question

【2017江西南昌十所重点二模】选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C₂： ．

（Ⅰ）求曲线C₁和C₂的直角坐标方程，并分别指出其曲线类型；

（Ⅱ）试判断：曲线C₁和C₂是否有公共点？如果有，说明公共点的个数；如果没有，请说明理由；

（Ⅲ）设是曲线C₁上任意一点，请直接写出a + 2b的取值范围．

Answer

（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）2．（Ⅲ） ．

【解析】试题分析：（Ⅰ）消去参数t可得曲线C1的方程是和轨迹,

利用极值互化公式可得的方程和轨迹.

（Ⅱ）联立方程结合图形对称性知公共点的个数为2．

（Ⅲ）由C1的参数方程可得 a + 2b的取值范围是．

试题解析：（Ⅰ）由题设知曲线C1的方程是．

所以曲线C1表示以为焦点，中心为原点的椭圆．

同理曲线C2的方程是．

所以曲线C2表示以为圆心，半径是1的圆．

（Ⅱ）联立曲线C1和C2的直角坐标方程，得．

消去x，得，解得或．

由图形对称性知公共点的个数为2．

（Ⅲ）a + 2b的取值范围是．