Question

设A，B为曲线C：y=上两点，A与B的横坐标之和为4.

（1）求直线AB的斜率；

（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程.

Answer

（1）1（2）

【解析】试题分析：（1）由直线斜率公式可得AB的斜率，再根据A与B的横坐标之和为4，得AB的斜率.（2）先根据导数几何意义得M点坐标，再根据直角三角形性质得，（AB的中点为N），设直线AB的方程为，与抛物线方程联立，利用两点间距离公式以及弦长公式可得关系式，解得.即得直线AB的方程为.

试题解析：【解析】
（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），则， ， ，x1+x2=4，

于是直线AB的斜率.

（2）由，得.

设M（x3，y3），由题设知，解得，于是M（2，1）.

设直线AB的方程为，故线段AB的中点为N（2,2+m），|MN|=|m+1|.

将代入得.

当，即时， .

从而.

由题设知，即，解得.

所以直线AB的方程为.