Question

已知函数=e^x(e^x﹣a)﹣a²x．

（1）讨论的单调性；

（2）若，求a的取值范围．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再按导函数零点讨论：若，无零点，单调；若，一个零点，先减后增；若，一个零点，先减后增；（2）由单调性确定函数最小值：若，满足；若，最小值为，即；若，最小值为，即，综合可得的取值范围为.

试题解析：（1）函数的定义域为， ，

①若，则，在单调递增.

②若，则由得.

当时， ；当时， ，所以在单调递减，在单调递增.

③若，则由得.

当时， ；当时， ，故在单调递减，在单调递增.

（2）①若，则，所以.

②若，则由（1）得，当时， 取得最小值，最小值为.从而当且仅当，即时， .

③若，则由（1）得，当时， 取得最小值，最小值为.从而当且仅当，即时.

综上， 的取值范围为.