Question

已知函数ae^2x+(a﹣2) e^x﹣x.

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求a的取值范围.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按， 进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若， 至多有一个零点.若，当时， 取得最小值，求出最小值，根据， ， 进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.

试题解析：（1）的定义域为， ，

（ⅰ）若，则，所以在单调递减.

（ⅱ）若，则由得.

当时， ；当时， ，所以在单调递减，在单调递增.

（2）（ⅰ）若，由（1）知， 至多有一个零点.

（ⅱ）若，由（1）知，当时， 取得最小值，最小值为.

①当时，由于，故只有一个零点；

②当时，由于，即，故没有零点；

③当时， ，即.

又，故在有一个零点.

设正整数满足，则.

由于，因此在有一个零点.

综上， 的取值范围为.