Question

如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求证：（1）EF∥平面ABC；

（2）AD⊥AC.

Answer

（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明，再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得平面，则 ，再由AB⊥AD及线面垂直判定定理得AD⊥平面ABC，即可得AD⊥AC．

试题解析：证明：（1）在平面内，因为AB⊥AD， ，所以.

又因为平面ABC， 平面ABC，所以EF∥平面ABC.

（2）因为平面ABD⊥平面BCD，

平面平面BCD=BD，

平面BCD， ，

所以平面.

因为平面，所以 .

又AB⊥AD， ， 平面ABC， 平面ABC，

所以AD⊥平面ABC，

又因为AC平面ABC，

所以AD⊥AC.