Question

对于给定的正整数k,若数列{a_n}满足

=2ka_n对任意正整数n(n> k) 总成立，则称数列{a_n} 是“P(k)数列”.

(1)证明：等差数列{a_n}是“P(3)数列”；

若数列{a_n}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{a_n}是等差数列.

Answer

（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：（1）利用等差数列性质得，即得 ，再根据定义即可判断；（2）先根据定义得， ，再将条件集中消元： ， ，即得，最后验证起始项也满足即可．

试题解析：证明:（1）因为是等差数列，设其公差为，则，

从而，当时，

，

所以，

因此等差数列是“数列”.

（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，

当时， ，①

当时， .②

由①知， ，③

，④

将③④代入②，得，其中，

所以是等差数列，设其公差为.

在①中，取，则，所以，

在①中，取，则，所以，

所以数列是等差数列.