Question

已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点。（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）

求b关于a的函数关系式，并写出定义域；

证明：b²>3a;

若， 这两个函数的所有极值之和不小于，求a的取值范围。

Answer

（1），定义域为.（2）见解析（3）.

【解析】试题分析：（1）先求导函数的极值： ，再代入原函数得，化简可得，根据极值存在条件可得；（2）由（1）得，构造函数，利用导数研究函数单调性，可得，即；（3）先求证的两个极值之和为零，利用根与系数关系代入化简即得，再研究导函数极值不小于，构造差函数，利用导数研究其单调性， 在上单调递减．而，故可得的取值范围．

试题解析：【解析】
（1）由，得.

当时， 有极小值.

因为的极值点是的零点.

所以，又，故.

因为有极值，故有实根，从而，即.

时， ，故在R上是增函数， 没有极值；

时， 有两个相异的实根， .

列表如下

x

+

0

–

0

+

极大值

极小值

故的极值点是.

从而，

因此，定义域为.

（2）由（1）知， .

设，则.

当时， ，从而在上单调递增.

因为，所以，故，即.

因此.

（3）由（1）知， 的极值点是，且， .

从而

记， 所有极值之和为，

因为的极值为，所以， .

因为，于是在上单调递减.

因为，于是，故.

因此a的取值范围为.