Question

如图，在直三棱柱中， ， 为线段的中点．

（Ⅰ）求证： ；

（Ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长．

Answer

(1)证明见解析；（2）或.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由直棱柱的性质可得，由等腰三角形的性质可得，由线面垂直的判定定理可得平面，进而由面面垂直的判定定理可得结论；（Ⅱ）以为原点， 为轴， 为轴，过点平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量及，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.

试题解析：（Ⅰ）∵三棱柱是直三棱柱， ∴平面 ，

又平面∴， ∵， 是的中点， ∴，

又平面平面，

∴平面，又平面，∴．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 平面，故以为原点， 为轴， 为轴，过点平行于的直线为轴建立空间直角坐标系（如图所示），

设，则，

∴，· 设平面的一个法向量， 则，即，则，令可得， ，故，

设直线与平面所成角为，

则，

解得或，即或．