Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC， .点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.

（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；

（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长.

Answer

（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）;（Ⅲ）或.

【解析】试题分析：本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.首先要建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，证明线面平行只需求出平面的法向量，计算直线对应的向量与法向量的数量积为0，求二面角只需求出两个半平面对应的法向量，借助法向量的夹角求二面角，利用向量的夹角公式，求出异面直线所成角的余弦值，利用已知条件，求出的值.

试题解析：如图，以A为原点，分别以， ， 方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.

（Ⅰ）证明： =（0，2，0），=（2，0， ）.设，为平面BDE的法向量，

则，即.不妨设，可得.又=（1，2， ），可得.

因为平面BDE，所以MN//平面BDE.

（Ⅱ）【解析】
易知为平面CEM的一个法向量.设为平面EMN的法向量，则，因为， ，所以.不妨设，可得.

因此有，于是.

所以，二面角C—EM—N的正弦值为.

（Ⅲ）【解析】
依题意，设AH=h（），则H（0，0，h），进而可得， .由已知，得，整理得，解得，或.

所以，线段AH的长为或.