Question

设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点， 到抛物线的准线的距离为.

（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（II）设上两点， 关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.

Answer

（Ⅰ）， .（Ⅱ），或.

【解析】试题分析：由于为抛物线焦点， 到抛物线的准线的距离为，则，又椭圆的离心率为，求出，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则，设直线方程为设，解出两点的坐标，把直线方程和椭圆方程联立解出点坐标，写出 所在直线方程，求出点的坐标，最后根据的面积为解方程求出，得出直线的方程.

试题解析：（Ⅰ）【解析】
设的坐标为.依题意， ， ， ，解得， ， ，于是.

所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.

（Ⅱ）【解析】
设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可学*科.网得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以.

所以，直线的方程为，或.