Question

设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点， 为的导函数.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）设，函数，求证： ；

（Ⅲ）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且 满足.

Answer

（Ⅰ）增区间是， ，递减区间是.（Ⅱ）见解析；（III）见解析.

【解析】试题分析：由于为，所以判断的单调性，需要对二次求导，根据的导数的符号判断函数的单调性，给出单调区间;由，得 ，.令函数， 分别求导证明.有关零点问题，利用函数的单调性了解函数的图像情况，对极值作出相应的要求可控制零点的个数.

试题解析：（Ⅰ）【解析】
由，可得，

进而可得.令，解得，或.

当x变化时， 的变化情况如下表：

x

+

-

+

↗

↘

↗

所以， 的单调递增区间是， ，单调递减区间是.

（Ⅱ）证明：由，得，

.

令函数，则.由（Ⅰ）知，当时， ，故当时， ， 单调递减；当时， ， 单调递增.因此，当时， ，可得.

令函数，则.由（Ⅰ）知， 在上单调递增，故当时， ， 单调递增；当时， ， 单调递减.因此，当时， ，可得.

所以， .

（III）证明：对于任意的正整数 ， ，且，

令，函数.

由（II）知，当时， 在区间内有零点；

当时， 在区间内有零点.

所以在内至少有一个零点，不妨设为，则.

由（I）知在上单调递增，故，

于是.

因为当时， ，故在上单调递增，

所以在区间上除外没有其他的零点，而，故.

又因为， ， 均为整数，所以是正整数，

从而.

所以.所以，只要取，就有.