Question

已知函数=lnx+ax²+(2a+1)x．

（1）讨论的单调性；

（2）当a﹤0时，证明．

Answer

（1）见解析；（2）见解析.

【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时， ，则在单调递增；当时， 在单调递增，在单调递减.（2）证明，即证，而，所以需证，设g（x）=lnx-x+1 ，利用导数易得，即得证.

试题解析：（1）f（x）的定义域为（0，+），.

若a≥0，则当x∈（0，+）时， ，故f（x）在（0，+）单调递增.

若a＜0，则当x∈时， ；当x∈时， .故f（x）在单调递增，在单调递减.

（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为

.

所以等价于，即.

设g（x）=lnx-x+1，则.

当x∈（0,1）时， ；当x∈（1，+）时， .所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时， ，即.