Question

如图，四边形为菱形， ， 与相交于点， 平面， 平面， ， 为中点.

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）当直线与平面所成角为时，求异面直线与所成角的余弦值.

Answer

（1）见解析（2）（3）

【解析】试题分析：（Ⅰ）先证明四边形为菱形，再根据三角形中位线定理可得，进而可得结论；（Ⅱ）以， ， 为， ， 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面的法向量及平面的法向量，根据空间向量夹角余弦公式可得结果；（Ⅲ）根据为与平面所成角为可得 的值，进而利用空间向量夹角余弦公式可得结果.

试题解析：（Ⅰ）证明：因为面， 面，所以.

因为四边形为菱形，所以为中点，又为中点，

所以， 面， 面，故平面.

（Ⅱ）分别以， ， 为， ， 轴建立空间直角坐标系，

， ， ，

， ，

设平面的法向量，则

得，令， ，所以

设平面的法向量，则

得，令， ，所以

于是，

所以.

所以，二面角的正弦值为.

（Ⅲ）设， ，

因为与平面所成角为，所以

解得或（舍）.

于是， .

因此，异面直线与所成角的余弦值.