Question

设椭圆： （）的左右焦点分别为， ，下顶点为，直线的方程为.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设为椭圆上异于其顶点的一点， 到直线的距离为，且三角形的面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若斜率为的直线与椭圆相切，过焦点， 分别作， ，垂足分别为， ，求的最大值.

Answer

（1）（2）4

【解析】试题分析：（Ⅰ） 由直线斜率为 可得 ，从而可得结果；（Ⅱ）（1）先求得 点坐标，根据三角形面积可得 的值，从而可得椭圆方程,(2) 设直线： 代入椭圆的方程中，

得 ,判别式为零，及点到直线的距离公式可将表示为 的函数，再利用基本不等式求解即可.

试题解析：（Ⅰ）由已知，则.

，

（Ⅱ）（1）设点，于是，

所以或

而 无解；

由得.

又因为三角形面积，所以，

于是，椭圆的方程为.

（2）设直线： 代入椭圆的方程中，

得

由已知，即

同时，

①当时，

所以

当且仅当时等号成立

而时， ，因此

②当时，四边形为矩形

此时

综上①②可知， 的最大值为4.

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程和最值问题，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调法以及均值不等式法，本题（Ⅱ）就是用的这种思路，利用均值不等式法的最大值的.