Question

设函数，其中.

(Ⅰ)若函数在处有极小值，求的值；

(Ⅱ)若，设，求证：当时， ；

(Ⅲ)若，对于给定，其中，若.求的取值范围.

Answer

(Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ) .

【解析】试题分析：

(Ⅰ)由题意得到关于实数的方程组，求解方程组可得；

(Ⅱ)首先确定函数取得最值时自变量的位置，然后结合题意进行证明即可得出结论；

(Ⅲ)由题意分类讨论可得的取值范围是.

试题解析：

(Ⅰ) ,由已知的，

解得或.

当时， 是极小值

当时， 是极大值，故舍去

所以

(Ⅱ)

因为，所以函数的对称轴位于区间之外，

于是， 在上的最大值在两端点处取得，

即.

于是=≥，

故.

(Ⅲ)

所以，当时， ，所以在上单调递减.

①当时， ，

，

，

因为在上单调递减，所以，

且.

因此， 成立， 符合题意.

②当时, ，

，

于是

所以成立， 不符合题意

③时， ，

，

.

所以不符合题意.

综上， .