Question

已知抛物线及点，动直线与抛物线交于、两点，若直线与的倾斜角分别为，且．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）若为抛物线上不与原点重合的一点，点是线段上与点，不重合的任意一点，过点作轴的垂线依次交抛物线和轴于点，求证：．

Answer

(Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析.

【解析】试题分析：

(Ⅰ)联立直线与抛物线的方程，结合直线的斜率关系可得抛物线的方程为．

(Ⅱ)设出点的坐标，联立直线与抛物线的方程，由几何关系即可证得题中的结论成立.

试题解析：

（Ⅰ）把直线代入得，

设，则，

由可知，直线的斜率与的斜率之和为零，

所以，去分母整理得，

即，由该式对任意实数恒成立，可得，

抛物线的方程为．

（Ⅱ）证明：设过点的垂线为，联立，得，即点．

令，则，所以直线方程为，

联立，得，即点，

所以，所以，即．