Question

如图，、分别是圆的切线和割线，其中为切点，为切线的中点，弦、相交于点，弦延长线上的点，满足．

求证：、、三点共线的充分必要条件是、、三点共线．

Answer

证明见解析.

【解析】试题分析：

由题意作出辅助线，结合题中的位置关系和赛瓦定理即可证得题中的结论.

试题解析：

【解析】
由为圆的切线知，．

又，

∴．∴．

（1）若、、三点共线．

设直线，交于点。则由塞瓦定理知．

∵，∴，．

又点、均在直线上，因此、重合．

∴、、三点共线．

（2）若、、三点共线．

设直线、相交于点．

则由塞瓦定理知，．

∵，，

∴，，为的中点、重合．

∴、、三点共线．由（1）、（2）可得，、、三点共线的充分必要条件是、、三点共线。

（若有另外的解法，言之成理亦可得分。）