Question

已知抛物线 的准线与轴交于点，过点作曲线的切线，切点到轴的距离为,

（I）求抛物线的方程；

（II）设是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且（其中为坐标原点）

（i）求证：直线必过定点，并求出该定点的坐标；

（ii）过点作的垂线与抛物线交于两点，求四边形面积的最小值.

Answer

（I）；（II）（i）恒过定点；（ii）88.

【解析】试题分析：（I）求得的坐标，圆心坐标和半径，由切线的性质和相似三角形解出，从而得出，进而得到抛物线方程；（II）（i）设出直线方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得到定点；（ii）运用弦长公式和四边形的面积公式，换元整理，结合基本不等式，即可求得最小值.

试题解析：（I）由已知可得，圆的圆心，半径为1，

过点作轴，且与轴垂直相交于点，

由题意可知，则而∽,

则,即，

则，抛物线.

（II）（i）设直线，

由可得，所以，，

又，即，解得或（舍去），

所以，解得，则有恒过定点.

（ii）由题意得，由（i）可得，

同理，

则四边形面积

，

令，则是关于的增函数，

则当时，取得最小值，且为88.

即当且仅当时，四边形面积的最小值为88.